Question

如图，已知点 A（4，0）、B（0，2），^∠AOB 的平分线交 AB 于 C．动点 M 从 O 点出发，以每 秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴向点 A 作匀速运动，同时动点 N 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的 速度沿 y 轴向点 B 作匀速运动，点 P、Q 为点 M、N 关于直线 OC 的对称点，设 M 运动的时间为 t

（0＜t＜2）秒．

（1）求 C 点的坐标，并直接写出点 P、Q 的坐标（用含 t 的代数式表示）； 运动过程中，

①是否存在某一时刻使得^△CPQ  为等腰直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；

②设^△CPQ 与^△OAB 重叠部分的面积为 S，试求 S 关于 t 的函数关系式．

Answer 1

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）先根据 OC 是^∠AOB 的平分线得出 OC 的解析式为 y=x．再利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，故可得出 C 点坐标，用 t 表示出点 M 与点 N 的坐标，再由轴对称的性质可得出 P、 Q 两点的坐标；

①分 CP=PQ，PQ=QC 及 CP=CQ 三种情况进行讨论即可；

^{②当 0＜t≤1 时，S=S}△POC^+S△OQC^﹣S△OPQ^{，当 1＜t＜2 时，设 PQ 与 AB 交于点 D，则重叠部分面} 积为^△CDQ 的面积，据此可得出结论．

【解答】解：（1）^∵OC 是^∠AOB 的平分线，

^∴OC 的解析式为 y=x．