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【题目】如图,已知AB是⊙O的弦,半径OA=2,OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个实数根.

(1)求弦AB的长度;

(2)计算S△AOB

(3)⊙O上一动点P从A点出发,沿逆时针方向运动一周,当S△POA=S△AOB时,求P点所经过的弧长(不考虑点P与点B重合的情形).

【答案】(1)AB=2;(2)S△AOB=;(3)当S△POA=S△AOB时,P点所经过的弧长分别是

【解析】试题分析:(1)OA和AB的长度是一元二次方程的根,所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB的长度;

(2)作出△AOB的高OC,然后求出OC的长度即可求出面积;

(3)由题意知:两三角形有公共的底边,要面积相等,即高要相等.

试题解析:(1)由题意知:OA和AB的长度是x2﹣4x+a=0的两个实数根,

∴OA+AB=﹣=4,

∵OA=2,

∴AB=2;

(2)过点C作OC⊥AB于点C,

∵OA=AB=OB=2,∴△AOB是等边三角形,∴AC=AB=1,

在Rt△ACO中,由勾股定理可得:OC=,∴S△AOB=AB﹒OC=×2×=

(3)延长AO交⊙O于点D,由于△AOB与△POA有公共边OA,

当S△POA=S△AOB时,∴△AOB与△POA高相等,

由(2)可知:等边△AOB的高为,∴点P到直线OA的距离为,这样点共有3个

①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1,∴∠BOP1=60°,

∴此时点P经过的弧长为: =

②作点P2,使得P1与P2关于直线OA对称,∴∠P2OD=60°,

∴此时点P经过的弧长为: =

③作点P3,使得B与P3关于直线OA对称,∴∠P3OP2=60°,

∴此时P经过的弧长为: =

综上所述:当S△POA=S△AOB时,P点所经过的弧长分别是

练习册系列答案
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【题目】如图,ABC中,AB=AC=4,cosC=

(1)动手操作:利用尺规作以AC为直径的⊙O,并标出⊙O与AB的交点D,与BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法).

(2)综合应用:在你所作的圆中,求证:

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(1)求a的值;

(2)求泄洪20小时,水库现超过警戒线水量;

(3)若在开始泄洪后15小时内将水库降到警戒线水量,问泄洪一开始至少需要同时打开几个泄洪闸?

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A.x2+x4=x6
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【题目】实验与探究

(1)在图①,图②,图③中,给出平行四边形ABCD的顶点ABD的坐标,写出图①,图②,图③中的顶点C的坐标,它们分别是________,___________,____________;

(2)在图④中,给出平行四边形ABCD的顶点ABD的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标(C点坐标用含abcdef的代数式表示);

归纳与发现

(3)通过对图①,图②,图③,图④的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点C坐标为(mn)(如图④)时,则四个顶点的横坐标acme之间的等量关系为___________,纵坐标bdnf之间的等量关系为__________.(不必证明)

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(1)如图1,点D、C、G在同一直线上,点E在BC边上,求PH的长;

(2)把正方形CEFG绕着点C逆时针旋转α(0°<α<180°)

①如图2,当点E落在AF上时,求CO的长;

②如图3,当DG=时,求PH的长.

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【题目】如图,AB=AC,CFABF,BEACE,CFBE交于点D.有下列结论:

①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上;④点CAB的中垂线上.

以上结论正确的有(  )个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【题目】如果点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,那么称点P为和谐点.请写出一个和谐点的坐标:

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