Question

1．在如图中的网格中建立平面直角坐标系，在坐标平面内描出点O（0，0），P（5，5），M（2，-1），N（-1，2），连接OP，OM，ON，PM，PN，并直接回答下列问题：
（1）判断△OPN与△MOP的形状，并说明理由；
（2）求证：OP平分∠NPM．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理求出△PNO是直角三角形，同理可得出△PMO是直角三角形，即可得出答案；
（2）利用角平分线的性质进行证明．

解答 （1）解：△OPN与△MOP都是直角三角形，理由如下：
∵NO=$\sqrt{5}$，MO=$\sqrt{5}$，NP=3$\sqrt{5}$，PM=3$\sqrt{5}$，OP=5$\sqrt{2}$，
∴NO²+NP²=OP²，
∴△PNO是直角三角形，
同理可得出△PMO是直角三角形；

（2）证明：由（1）知，△PNO是直角三角形，△PMO是直角三角形，则OM⊥PM，ON⊥PN．
又∵OM=ON=$\sqrt{5}$，
∴OP是∠NPM的平分线，即OP平分∠NPM．

点评 此题主要考查了坐标与图形性质以及勾股定理和角平分线的性质等知识，利用勾股定理得出各线段长是解题关键．