Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（

1

2

，2），B（3，n）在反比例函数y=

m

x

（m为常数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点D（1，0），过点C作CE∥x轴交直线l于点E．
（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）求证：∠BAE=∠ACB．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由A点在反比例函数图象上，把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例表达式，设直线l对于的函数表达式为y=kx+b，把A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线l表达式；
（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标，根据CE与x轴平行，得到E与C纵坐标相等，求出E坐标即可；
（3）如图，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE，∠BCE=∠CBH，由A，C，E坐标，确定出F坐标，得到CF=EF，由AC=AE，利用等边对等角得到∠ACE=∠AEC，由B在反比例函数图象上，将B坐标代入求出n的值，确定出B，G，H坐标，利用锐角三角函数定义求出tan∠ABH与tan∠CBH的值，得到∠ABH=∠CBH，等量代换得到∠BCE=∠ABH，利用等式的性质变形即可得证．

解答：解：（1）∵点A（

1

2

，2）在反比例函数y=

m

x

（m为常数）的图象G上，
∴m=

1

2

×2=1，
∴反比例函数y=

m

x

（m为常数）对应的函数表达式是y=

1

x

，
设直线l对应的函数表达式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0），
∵直线l经过点A（

1

2

，2），D（1，0），
∴

1 2 k+b=2 k+b=0

，
解得：

k=-4 b=4

，
∴直线l对应的函数表达式为y=-4x+4；
（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为（-

1

2

，-2），
∵CE∥x轴交直线l于点E，
∴y_E=y_C，
∴点E的坐标为E（

3

2

，-2）；
（3）如图，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，
作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE，∠BCE=∠CBH，
∵A（

1

2

，2），C（-

1

2

，-2），E（

3

2

，-2），
∴点F的坐标为F（

1

2

，-2），
∴CF=EF，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵点B（3，n）在反比例函数图象上，
∴n=

1

3

，
∴B（3，

1

3

），G（

1

2

，

1

3

），H（-

1

2

，

1

3

），
在Rt△ABG中，tan∠ABH=

AG

BG

=

2- 1 3

3- 1 2

=

2

3

，
在Rt△BCH中，tan∠CBH=

CH

BH

=

1 3 +2

3+ 1 2

=

2

3

，
∴∠ABH=∠CBH，
∴∠BCE=∠ABH，
∵∠BAE-∠AMH-∠ABH=∠AEC-∠ABH，∠ACB=∠ACE-∠BCE，
∴∠BAE=∠ACB．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．