【题目】已知抛物线,直线,直线
(1)当m=0时,若直线经过此抛物线的顶点,求b的值
(2)将此抛物线夹在之间的部分(含交点)图象记为,若,
①判断此抛物线的顶点是否在图象上,并说明理由;
②图象上是否存在这样的两点:,其中?若存在,求相应的和的取值范围
【答案】(1)b=-2;(2)①不在,理由详见解析;②不存在,理由详见解析.
【解析】
(1) 把m=0代入即可求出抛物线解析式,则可得顶点坐标为,把顶点坐标代入,可求得b的值;
(2)①将抛物线化成顶点式 后,得出抛物线顶点为(m,2m-2).当x=m时,对于,对于由于,可得 顶点(m,2m-2)在的下方,即可得出结论;②设直线与抛物线交于A、B两点,且,由方程 ,可得,此时 ;设直线与抛物线交于C,D两点,且 ,由方程,可得 ,此时 可得 ,可判断 由于,即点A在抛物线对称轴的左侧,则在抛物线对称轴的右侧,必存在点A的对称点,其中, 所以 ,由于抛物线的开口向上,可得当x<m时,y随x的增大而减小,由于抛物线顶点在的下方,故点C也在抛物线对称轴左侧,设 是抛物线上A、C两点之间的任意一点,则有 ,故 ,又因为在抛物线上必存在其对称点 ,其中 ,故 ,故抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方.同理,抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方,所以图像C上不存在这样的两点:和,其中
(1)解:当m=0时,抛物线:
则顶点坐标为(0,-2)
把(0,-2)代入,可得b=-2
(2)①抛物线的顶点不在图像C上,理由如下:
因为 ,
所以抛物线顶点为(m,2m-2)
当x=m时,对于,对于
因为
所以
所以
即顶点在的下方
所以抛物线的顶点不在图像C上
②解:设直线与抛物线交于A、B两点,且
解得
因为 ,且对于,y随x的增大而增大
所以
所以,此时
设直线与抛物线交于C,D两点,且
所以
所以
因为
所以,
所以
因为 ,且对于,y随x的增大而增大,
所以
所以 ,此时
因为 ,
又因为
所以
又因为
所以,即
因为,即点A在抛物线对称轴的左侧,则在抛物线对称轴的右侧,必存在点A的对称点,其中
所以
因为抛物线的开口向上,
所以当x<m时,y随x的增大而减小,
因为抛物线顶点在的下方,故点C也在抛物线对称轴左侧,
设 是抛物线上A、C两点之间的任意一点,则有
所以
又因为在抛物线上必存在其对称点 ,其中
所以
也即抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方
同理,抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方
所以图像C上不存在这样的两点:和,其中
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【题目】已知二次函数自变量的值和它对应的函数值如下表所示:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |||
3 | 0 | -1 | 0 |
(1)请写出该二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标和的值;
(2)设该二次函数图像与轴的左交点为,它的顶点为,该图像上点的横坐标为4,求的面积.
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【题目】运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h(m)与它的飞行时间t(s)满足二次函数关系,t与h的几组对应值如下表所示.
t(s) | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | … |
h(m) | 0 | 8.75 | 15 | 18.75 | 20 | … |
(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围);
(2)求小球飞行3s时的高度;
(3)问:小球的飞行高度能否达到22m?请说明理由.
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【题目】李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地,矩形面积S(单位:平方米)随矩形一边长x(单位:米)的变化而变化.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大?最大面积是多少?
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【题目】如图,已知∠BAC=∠ADE=90°,AD⊥BC,AC=DC.关于优弧CAD,下列结论正确的是( )
A.经过点B和点EB.经过点B,不一定经过点E
C.经过点E,不一定经过点BD.不一定经过点B和点E
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,其边长为2,点A,点C分别在轴,轴的正半轴上.函数的图象与CB交于点D,函数(为常数,)的图象经过点D,与AB交于点E,与函数的图象在第三象限内交于点F,连接AF、EF.
(1)求函数的表达式,并直接写出E、F两点的坐标.
(2)求△AEF的面积.
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【题目】为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛,现对他们的射击水平进行测试,两人在相同条件下各射击6次,命中的环数如下(单位:环):
小华:7,8,7,8,9,9; 小亮:5,8,7,8,10,10.
(1)填写下表:
平均数(环) | 中位数(环) | 方差(环2) | |
小华 | 8 | ||
小亮 | 8 | 3 |
(2)根据以上信息,你认为教练会选择谁参加比赛,理由是什么?
(3)若小亮再射击2次,分别命中7环和9环,则小亮这8次射击成绩的方差 .(填“变大”、“变小”、“不变”)
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【题目】如图,在中,,,是线段延长线上一点,连接,过点作于.
(1)求证:.
(2)将射线绕点顺时针旋转后,所得的射线与线段的延长线交于点,连接.
①依题意补全图形;
②用等式表示线段,,之间的数量关系,并证明.
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【题目】某商店购进一批成本为每件30元的商品,商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售.经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)销售单价定为多少元时,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元,请直接写出每天的销售量y(件)的取值范围.
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