Question

【题目】综合与探究：

（1）操作发现：如图1，在中，为锐角，为射线上一动点，连接，以为直角边且在的上方作等腰直角三角形.若，.当点在线段上时（与点不重合），你能发现与的数量关系和位置关系吗？请直接写出你发现的结论.

（2）类比与猜想：当点在线段的延长线上时，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应图形并说明理由.

（3）深入探究：如图3，若，，，点在线段上运动，请写出与的位置关系并证明.

Answer 1

【答案】（1），.（2）成立，证明见解析；（3）.证明见解析

【解析】

（1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，

（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与（1）的思路相同求解即可；

（3）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD．

解：∵，是等腰直角三角形，

∴，，

∴.

在和中，

，，，

∴，

∴，.

∵，，

∴，

∴，

∴.

（2）成立.

证明：如图2，

∵，

∴，

即.

在和中，

，，，

∴，

∴，.

∵，，

∴，

∴，

∴.

（3）.

证明：如图3，过点作交于.

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，.

∵，，

∴.

在和中，，，，

∴，

∴，

∴，

∴.