Question

【题目】如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是________（填写正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据题意分别求出两个二次函数的解析式，根据函数的对称轴判定①；令x=0，求出y2的值，比较判定②；观察图象，判定③；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定④．

∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2=（x﹣3）2+n的对称轴分别为x=-2，x=3，

∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；

∵抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），

∴2+n=3，即n=1；

∴y2=（x﹣3）2+1，

把x=0代入y2=（x﹣3）2+1得，y=≠5，②错误；

由图象可知，当x＞3时，y1＞y2，∴x＞3时，y1﹣y2＞0，③正确；

∵抛物线y1=a（x+2）2+m过原点和点A（1，3），

∴，

解得 ，

∴.

令y1=3，则，

解得x1=-5，x2=1，

∴AB=1-（-5）=6，

∴A（1，3），B（-5，3）；

令y2=3，则（x﹣3）2+1=3，

解得x1=5，x2=1，

∴C（5，3），

∴AC=5-1=4，

∴BC=10，

∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．

故答案为①③④．