Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝6，点E从点B沿着射线BA以每秒3个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交∠ACB的外角平分线CF于点F．

（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；

（2）当点E是边AB的中点时，连结AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；

（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为边所构造的平行四边形恰好是菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AECF是矩形，理由见解析；（3）t的值为秒或秒或2秒

【解析】

（1）由等腰三角形的性质得：∠B=∠BAC，再由角平分线定义和三角形外角的性质可解答；
（2）由有一个角是直角的平行四边形是矩形可解答；
（3）分三种情况：①EF=CF；②CE=CF；②CE=EF；分别列方程可解答．

证明：（1）如图1，

∵AC＝BC，

∴∠B＝∠BAC，

∵CF平分∠ACH，

∴∠ACF＝∠FCH，

∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，

∴∠FCH＝∠B，

∴BE∥CF，

∵EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形；

（2）四边形AECF是矩形，

理由是：

∵E是AB的中点，AC＝BC，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，

∴CF＝BE＝AE，

∵AE∥CF，AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形，且∠AEC＝90°，

∴四边形AECF是矩形；

（3）①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图2，

∴BE＝BC，即3t＝3，

∴t＝；

②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，过C作CD⊥AB于D，连接GC，

∵AC＝BC＝3，AB＝6，

∴BD＝AD＝3，

由勾股定理得：CD＝＝＝6，

∵四边形CEGF是菱形，

∴EF⊥GC，且EF∥BC，

∴GC⊥BC，且∠EGC＝∠ECG，

∴∠EBC＝∠ECB，

∴BE＝CE＝3t，

∵（3t）2＝62+（3t﹣3）2，

∴t＝；

③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，CA＝AF＝BC，此时E与A重合，

∴t＝2，

综上所述，t的值为秒或秒或2秒；