【题目】如图,平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x-3的部分图象与x轴交于点A,B(A在B的左边),与y轴交于点C,连接BC,D为顶点.
(1)求∠OBC的度数;
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q,使△ABQ的面积等于5?如存在,求Q点的坐标;若不存在,说明理由;
【答案】(1)∠OBC=45;(2)点Q的坐标为(,
), (
,
)
【解析】
(1)由抛物线已知,则可求三角形OBC的各个顶点,易知三角形形状及内角.
(2)因为抛物线已固定,利用设点Q到AB的距离为a以及△ABQ的面积等于5,求出a的值,然后代入二次函数的表达式,即可求出Q点坐标.
(1)∵y=x22x3=(x3)(x+1),
∴当x=0时,y=3,当y=0时,x=1或x=3,
∴点C的坐标为(0,3),点B(3,0),点A(1,0),
∴OC=3,OB=3,∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∵∠BOC=90,∴∠OBC=∠OCB=45,
即∠OBC=45;
(2)在x轴下方的抛物线上存在一点Q,使△ABQ的面积等于5,
∵点B(3,0),点A(1,0),
∴AB=4,
设点Q到AB的距离为a,
∵△ABQ的面积等于5,
∴,得a=
,
∵点Q在x轴下方,
∴点Q的纵坐标是,
将y=-代入y=x2-2x-3,得-
=x2-2x-3,
解得,x=
∴点Q的坐标为(,
) (
,
)
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【题目】阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=x+4.如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B.C两点,顶点D在正方形内部.
(1)写出点M(2,3)任意两条特征线___________________
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式________________________
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【题目】2014年1月,国家发改委出台指导意见,要求2015年底前,所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度. 小军为了解市政府调整水价方案的社会反响,随机访问了自己居住在小区的部分居民,就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查,并把调查结果整理成下面的图1,图2.
小军发现每月每户的用水量在5m3-35m3之间,有7户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓,不用考虑用水方式的改变. 根据小军绘制的图表和发现的信息,完成下列问题:
(1)n =________,小明调查了_____户居民,并补全图1;
(2)每月每户用水量的中位数落在______之间,众数落在_______之间;
(3)如果小明所在的小区有1200户居民,请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少?
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【题目】如图,抛物线y1=a(x+2)2+m过原点,与抛物线y2=(x﹣3)2+n交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.下列结论:①两条抛物线的对称轴距离为5;②x=0时,y2=5;③当x>3时,y1﹣y2>0;④y轴是线段BC的中垂线.正确结论是________(填写正确结论的序号).
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4 经过点A(﹣3,0),点 B 在抛物线上,CB∥x轴,且AB 平分∠CAO.则此抛物线的解析式是___________.
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【题目】已知:如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.
(1)求BD的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点,连结DE,已知∠B=30°,⊙O的半径为12,弧DE的长度为4π.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若AF=CE,求线段BC的长度.
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