Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（a，0），B（m，n），C（p，n），其中m＞p＞0，n＞0，点A，C在直线y＝﹣2x+10上，AC＝2，OB平分∠AOC．

（1）求△OAC的面积；

（2）求证：四边形OABC是菱形；

（3）射线OB上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）S△AOC＝10；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.P（2，1）或（6，3）．

【解析】

（1）先根据点A（a，0）在直线y=-2x+10上，求得点A的坐标，在Rt△ACE中，根据勾股定理列出方程（5-p）2+n2=（2）2，再根据点C（p，n）在直线y=-2x+10上，得到方程n=-2p+10，进而求得n和p的值，根据点C的坐标，即可得出结论；

（2）求得OC的长，最后根据菱形的定义判定四边形OABC是菱形；

（3）先判断出∠APC=90°，再求出直线OB的解析式，利用等腰直角三角形的性质建立方程即可得出结论．

（1）∵点A（a，0）在直线y＝﹣2x+10上，

∴0＝﹣2a+10，即a＝5，

∴A（5，0），即OA＝5，

过C作CE⊥OA于点E，

则∠AEC＝90°，AE＝5﹣p，

∵在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，

∴（5﹣p）2+n2＝（2）2，

又∵点C（p，n）在直线y＝﹣2x+10上，

∴n＝﹣2p+10，

∴（5﹣p）2+（﹣2p+10）2＝（2）2，

解得p1＝3，p2＝7，

∴当p＝3时，n＝4；当p＝7时，n＝﹣4（舍去），

∴C（3，4），∴S△AOC＝OA×|yC|＝×5×4＝10；

（2）在Rt△OCE中，OC＝＝5，

∴OC＝OA，

∵OB平分∠AOC，

∴∠1＝∠2，

∵B（m，n），C（p，n），

∴BC∥x轴，

∴∠3＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴OC＝BC＝5，

∴OA∥BC，且OA＝BC，

∴四边形OABC是平行四边形，

∵OC＝OA，

∴平行四边形OABC是菱形；

（3）存在，理由：

如图1，

∵四边形OABC是菱形，

∴AD＝CD，AC⊥OB，

∵A（5，0），C（3，4），

∴D（4，2），B（8，4），

设直线OB的解析式为y＝kx，

∴8k＝4，

∴k＝，

∴直线OB的解析式为y＝x，

设P（m，m），

∴DP＝＝|m﹣4|，

∵△PAC为直角三角形，

∴∠APC＝90°，

∴DP＝AD＝CD＝AC，

∴|m﹣4|＝，

∴m＝2或m＝6，

∴P（2，1）或（6，3）．