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【题目】如图所示,在ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x秒.

(1)当x为何值时,PQ∥BC;

(2)当时,求的值;

(3)△APQ能否与CQB相似?若能,求出时间x的值;若不能,说明理由.

【答案】(1)x=;(2)=2(3)x的值是或5.

【解析】试题分析:(1)当PQ∥BC时,根据平行线分线段成比例定理,可得出关于AP,PQ,AB,AC的比例关系式,我们可根据P,Q的速度,用时间x表示出AP,AQ,然后根据得出的关系式求出x的值

(2)我们先看当S△BCQ:S△ABC=1:3时能得出什么条件,由于这两个三角形在AC边上的高相等,那么他们的底边的比就应该是面积比,由此可得出CQ:AC=1:3,那么CQ=10cm,此时时间x正好是(1)的结果,那么此时PQ∥BC,由此可根据平行这个特殊条件,得出三角形APQABC的面积比,然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比,由此即可得;

(3)本题要分两种情况进行讨论.已知了∠A和∠C对应相等,那么就要分成APCQ对应成比例以及APBC对应成比例两种情况来求x的值.

试题解析

试题解析:(1)由题意得,PQ//BC,则AP:AB=AQ:AC,AP=4x, AQ=30﹣3x,

,解得x=

(2)∵S△BCQ:S△ABC=1:3,

∴CQ:AC=1:3,CQ=10cm,

∴时间用了秒,AP=cm,

∵由(1)知,此时PQ平行于BC,

∴△APQ∽△ABC,相似比为

∴S△APQ:S△ABC=4:9,∴S△APQ= S△ABC

∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5:9,即S四边形PQCB=S△ABC

又∵S△BCQ:S△ABC=1:3,即S△BCQ=S△ABC

∴S△BPQ=S四边形PQCB﹣S△BCQS△ABCS△ABC=S△ABC

==2;

(3)假设两三角形可以相似,

情况1:当△APQ∽△CQB时,CQ:AP=BC:AQ,即有

解得x=

经检验,x=是原分式方程的解,

情况2:当△APQ∽△CBQ时,CQ:AQ=BC:AP,即有

解得x=5,或x=-10(不合题意,舍去),

经检验,x=5是原分式方程的解,

综上所述,时间x的值是或5.

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进价(元/双)

m

m4

售价(元/双)

160

150

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