Question

【题目】已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（2，﹣2），B（6，﹣2），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜4）．△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（2）若将△OPQ沿着直线PQ翻折得到△O′PQ，则当t=时，点O′恰好在抛物线上．
（3）在（2）的条件下，记△O′PQ与四边形OABC重叠的面积为S，求S与t的函数关系式，并注明自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

把O（0，0），A（2，﹣2），B（6，﹣2）代入得： ，

解得 ，

所以抛物线的解析式为： ．

（2）1
（3）解：解：由题意A（2，﹣2），可知直线OA是第二四象限的角平分线，∠AOC=45°，PQ⊥OA，△OPQ与△O′PQ是全等的等腰直角三角形，OP=PO′=2t，PQ=

①：如图2中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PQO′．

s=t2（0＜t≤1）

②：如图3中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PQAH．

s= t t﹣ （2t﹣2）2=﹣t2+4t﹣2（1＜t≤2）

③：如图4中，当2＜t≤3时，重叠部分是△PEH．

s= 22=2．

④：如图5中，当3＜t＜4时，重叠部分是△BEH．

s= （8﹣2t）2．

综上所述，s=

【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

把O（0，0），A（2，﹣2），B（6，﹣2）代入得： ，

解得 ，

所以抛物线的解析式为： ．

（2）如图1中，当点O′与A重合时，点O′恰好在抛物线上．

∵A（2，﹣2），

∴OA=2 ，OQ= ，OP=2，

∴t=1时，点O′在抛物线上．

所以答案是:（2）1．解：解：由题意A（2，﹣2），可知直线OA是第二四象限的角平分线，∠AOC=45°，PQ⊥OA，△OPQ与△O′PQ是全等的等腰直角三角形，OP=PO′=2t，PQ= 2 t

①：如图2中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PQO′．

s=t2（0＜t≤1）

②：如图3中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PQAH．

s= t t﹣ （2t﹣2）2=﹣t2+4t﹣2（1＜t≤2）

③：如图4中，当2＜t≤3时，重叠部分是△PEH．

s= 22=2．

④：如图5中，当3＜t＜4时，重叠部分是△BEH．

s= （8﹣2t）2．

综上所述，s=