Question

小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方,如3+2=,善于思考的小明进行了如下探索:

设a+b=,(其中a,b,m,n均为正整数)则有a+b=m²+2mn+2n²,

∴a=m²+2n²,b=2mn.

这样,小明找到了把类似a+b的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决问题:

(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=,用含m,n的式子分别表示a,b得,a=　　　　　,b=　　　　　　.

(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:

　　　　　　+　　　　　 =(　　　　　　+　　　　　 )².

(3)若a+4=且a,b,m,n均为正整数,求a的值.

Answer 1

【解析】(1)∵a+b==m²+2mn+3n²,

∴a=m²+3n²,b=2mn.

答案:m²+3n²　2mn

(2)利用=a+b进行逆推,执果索因,若把m,n分别选定为1,2,

则=13+4,

∴a=13,b=4.

 13　4　1　2(答案不唯一)

(3)由b=2mn得4=2mn,mn=2,

∵a,m,n均为正整数,

∴m n=1×2或mn=2×1,

即m=1,n=2或m=2,n=1,

当m=1,n=2时,a=m²+3n²=1²+3×2²=13;

当m=2,n=1时,a=m²+3n²=2²+3×1²=7.