Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】(1)、y=－+x+2；(2)、E点坐标为（0，2），（3，2）．

【解析】

试题分析：(1)、首先设出函数的解析式，然后利用待定系数法进行求解；(2)、首先根据题意判定△ABE只能是以点E为直角顶点的三角形，然后求出BC的长度，根据三角形相似求出点E的坐标.

试题解析：(1)、∵抛物线经过点C(0,2) ∴设该抛物线的解析式为y=a+bx+2

将A、B两点坐标代入解析式得： 解得：

∴抛物线的解析式为：y=－+x+2

(2)、存在

由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4， ∴BC==．

在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4， ∴h=．

∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y）， ∴=，∴y=±2

将y=2代入抛物线y=－+x+2，得=0，=3．

当y=﹣2时，不合题意舍去．

∴E点坐标为（0，2），（3，2）．