Question

【题目】一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．

解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是 ， BQ的长是dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积S△BCQ×高AB）
（3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°= ，tan37°= ）
（4）延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3 ．

Answer 1

【答案】
（1）CQ∥BE；3
（2）

解：V液= ×3×4×4=24（dm3）

（3）

解：在Rt△BCQ中，tan∠BCQ= ，

∴α=∠BCQ=37°．

当容器向左旋转时，如图3，0°≤α≤37°，

∵液体体积不变，

∴ （x+y）×4×4=24，

∴y=﹣x+3．

当容器向右旋转时，如图4．同理可得：y= ；

当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如图5，

由BB′=4，且 PBBB′×4=24，得PB=3，

∴由tan∠PB′B= ，得∠PB′B=37°．

∴α=∠B′PB=53°．此时37°≤α≤53°；

（4）解：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H．

在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，

∴HB′=2 ．

∴MG=BH=4﹣2 ＜MN．

此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱．

∵S△NFM+SMBB′G= × ×1+ （4﹣2 +4）×2=8﹣ ．

∴V溢出=24﹣4（8﹣ ）= ﹣8＞4（dm3）．

∴溢出液体可以达到4dm3．

【解析】解：（1）CQ∥BE，BQ= =3；
【考点精析】掌握矩形的性质是解答本题的根本，需要知道矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．