Question

【题目】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．

（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；

（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；

（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.

解：定理证明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴PA＝PB．

定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．

∵直线m是边BC的垂直平分线，

∴OB＝OC，

∵直线n是边AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，

∴OA＝OB

∵OH⊥AB，

∴AH＝BH；

（2）如图③中，连接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝5，

故答案为：5．