Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3，斜边AB的垂直平分线交BC与点D，交AB与点E，以BD为直径作⊙O，连接CE．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）CE是⊙O的切线，连接OE，要证明直线CE与⊙O相切，即转化为证明∠CEO=90°即可；
（2）过点E作EF⊥BD与点F，求图中阴影部分的面积即转化为：S_阴影=S_Rt△ABC-S_△BEO-S_扇形ODE，所以利用扇形的面积公式和三角形的面积公式分别求出其面积作差即可．

解答 解：（1）CE是⊙O的切线，理由如下：
连接OE，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEB=90°
∵点O是BD的中点，
∴EO是Rt△DEB斜边的中线，
∴EO=$\frac{1}{2}$BD，
∴点E在⊙O上，
∵OE=OB，∠B=30°，
∴∠BEO=∠B=30°，
∴∠EOD=60°
∵OE=OD，
∴∠DEO=∠EDO=60°，
∵CE是Rt△ABC斜边的中线，
∴CE=BE，
∴∠ECO=∠B=30°，
∴∠CED=30°，
∴∠CEO=90°，
∴CE是⊙O的切线．
（2）过点E作EF⊥BD与点F，
在Rt△ABC中，AC=3，∠B=30°，
∴BC=$\frac{3}{tan30°}$=3$\sqrt{3}$，AB=2AC=6．
∴S_Rt△ABC=$\frac{1}{2}$×3×$3\sqrt{3}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$，
∵E是AB的中点．∴BE=AE=3．
在Rt△BEF中，∠B=30°，BE=3，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$．
在Rt△BED中，∠B=30°，BE=3，
∴DE=BEtanB=$\sqrt{3}$，
∵∠EOD=60°，OE=OD，
∴OD=DE=$\sqrt{3}$，
∴OB=OD=$\sqrt{3}$，
∴S_△BEO=$\frac{1}{2}$OB•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S_扇形ODE=$\frac{60π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{2}$，
∴阴影部分的面积是S_Rt△ABC-S_△BEO-S_扇形ODE=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了圆切线的判定和性质、直角三角形的性质以及扇形的面积公式和三角形的面积公式和求阴影部分的面积．