Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，作菱形BDEC，使其对角线在坐标轴上，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线向上平移n个单位，使其顶点在菱形BDEC内（不含菱形的边），求n的取值范围；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，并说明理由．

 

 

Answer 1

（1）y=x2﹣x﹣4；（2）；（3）m=4时，四边形CQMD是平行四边形，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由待定系数法即可求得．

（2）先求得直线BC的解析式和抛物线的顶点坐标G（3，﹣），然后把x=3代入直线BC的解析式即可求得F的坐标，进而求得E的坐标即可求得n的取值．

（3）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；

试题解析:（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，

∴ 解得

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；

（2）设抛物线的顶点为G，过G点作x轴的垂线交BD于E，交BC于F，

由抛物线的解析式y=x2﹣x﹣4可知C（0，﹣4）

设直线BC的解析式为y=k1x+b1，

∵B（8，0），C（0，﹣4），则，

解得k1=，b1=﹣4．

故直线BC的解析式为y=x﹣4．

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，

∴抛物线的顶点G的坐标（3，﹣），

当x=3时，y=x﹣4=﹣，

∴F（3，﹣），

由菱形的对称性可知，点E的坐标为（3，）．

∵GF=﹣﹣（﹣）=，GE=﹣（﹣）=，

∴＜n＜．

 

（3）∵C（0，﹣4）

∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．

设直线BD的解析式为y=kx+b，则，

解得k=﹣，b=4．

∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．

∵l⊥x轴，

∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．

如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，

∴（﹣m+4）﹣（ m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．

化简得：m2﹣4m=0，

解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．

∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．

考点：1.待定系数法求函数解析式；2.平行四边形判定