Question

【题目】如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN= AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

Answer 1

【答案】解：△CMN是直角三角形．理由如下： 设正方形ABCD的边长为4a，则AB=BC=CD=AD=4a．
∵M是AB的中点，
∴AM=BM=2a．
∵AN= AD，AD=4a，
∴AN=a，DN=3a．
∵在Rt△AMN中，满足AM2+AN2=MN2 ， 且AM=2a，AN=a，
∴MN= a．
同理可得：MC= a，NC=5a．
∵MN2+MC2=（ a）2+（ a）2=25a2 ， NC2=（5a）2=25a2 ，
∴MN2+MC2=NC2 ，
∴△CMN是直角三角形
【解析】可设正方形ABCD的边长为4a，利用勾股定理分别求出NC，MN，CM的值，计算得出MN2+MC2=NC2 ， 根据勾股定理的逆定理可判定△CMN是直角三角形．
【考点精析】利用勾股定理的概念和勾股定理的逆定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．