Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线
（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

∵∠EAC=∠B，

∴∠CAE+∠BAC=90°，

即 BA⊥AE．

∴AE是⊙O的切线．

（2）

解：连接CO，

∵AB=6，

∴AO=3，

∵∠D=60°，

∴∠AOC=120°，

∴==2π．

【解析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；
（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对弧长计算公式的理解，了解若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．