Question

【题目】如图，已知直线交坐标轴于A、B点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E．

（1）求点C、D的坐标

（2）求抛物线的解析式

（3）若抛物线与正方形沿射线AB下滑，直至点C落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积．

Answer 1

【答案】（1）C（3，2），D（1，3）；（2）y=-x2+x+1；（3）10.

【解析】

试题分析：（1）分别过C、D两点作x轴、y轴的垂线，利用三角形全等的关系可确定C、D两点的坐标；

（2）根据A、C、D三点的坐标求抛物线解析式；

（3）由平移的性质可判断线段CE所扫过的部分为平行四边形，CC′为底，BC为高，由此求出C、E两点间的抛物线所扫过的面积．

试题解析：（1）如图，分别过C、D两点作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，

由直线AB的解析式得AO=1，OB=2，

由正方形的性质可证△ADN≌△BAO≌△CBM，

∴DN=BM=AO=1，AN=CM=BO=2，

∴C（3，2），D（1，3）；

（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

将A（0，1），C（3，2），D（1，3）三点坐标代入，得，

解得，

∴y=-x2+x+1；

（3）∵AB=BC=，

由△BCC′∽△AOB，得，

∴CC′=2BC=2，

由割补法可知，抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积=SCEE′C′=CC′×BC=2×=10，

即抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积为10．