Question

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点D是斜边AB的中点，△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，那么AA′的长是$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先根据勾股定理计算出BC=6，由点D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DC=DB，则∠DCB=∠B，再根据旋转的性质得∠B=∠B′，CA=CA′=8，AB=A′B′=10，∠ACB=∠A′CB′=90°，则∠B′=∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面积法可计算出CE=$\frac{24}{5}$，AE=AC-CE=$\frac{16}{5}$，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理计算出A′E=$\frac{32}{5}$，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可计算出AA′．

解答 解：设AC与A′B′的交点为E，如图，
∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵点D是斜边AB的中点，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，
∴∠B=∠B′，CA=CA′=8，AB=A′B′=10，∠ACB=∠A′CB′=90°，
∴∠B′=∠DCB，
∴A′B′∥BC，
而∠ACB=90°，
∴A′B′⊥AC，
$\frac{1}{2}$CE•A′B′=$\frac{1}{2}$A′C•CB′，
∴CE=$\frac{24}{5}$，
∴AE=AC-CE=8-$\frac{24}{5}$=$\frac{16}{5}$，
在Rt△A′CE中，A′E=$\sqrt{A′{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
在Rt△AA′E中，AA′=$\sqrt{A'{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{32}{5}）^{2}+（\frac{16}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$$\sqrt{5}$；
故答案为：$\frac{16}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理．