Question

1．如图，平行于x轴的直线AB与直线OB：y₁=kx相交于点B，C为OB的中点，以C为顶点的抛物线y₂=x²+bx+$\frac{1}{2}$经过点A、B，直线CD⊥x轴于点D．
（1）求点A的坐标及b的值；
（2）将抛物线平移，得到的抛物线y₃经过点A、D，与直线OB交于点E、F，当x为何值时，|y₃-y₁|的值随x的增大而减小？
（3）将抛物线再次作适当的平移，得抛物线y₄=（x-h）²，若2＜x≤m时，y₄≤kx恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥x轴，垂足为E，将x=0代入抛物线的解析式可得到y=$\frac{1}{2}$，从而可求得点A的坐标，然后根据BE∥DC，可求得DC=$\frac{1}{4}$，然后利用二次函数的顶点坐标公式可求得b=±1，然后再根据对称轴的位置可知b=-1；
（2）将b=-1代入求得y₂=x²-x+$\frac{1}{2}$，然后可求得点C的横坐标，从而得到点D的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），由点A和点D的坐标可求得y₃=x²-$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$，然后再求得y₁=$\frac{1}{2}$x，然后可得到|y₃-y₁|=|x²-$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}x$|=|x²-2x+$\frac{1}{2}$|，然后根据x²-2x+$\frac{1}{2}$＞0和x²-2x+$\frac{1}{2}$＜0，化简绝对值，最后画出函数|y₃-y₁|=|x²-2x+$\frac{1}{2}$|的图象，根据函数图象可求得答案；
（3）将x=2代入y=$\frac{1}{2}x$得；y=1．将x=2，y=1代入y₄=（x-h）²求得解得h=3，然后将y₄=（x-3）²与y₁=$\frac{1}{2}x$联立可求得：x₁=2，x₂=4.5，从而的求得m的最大值为4.5．

解答 解：（1）过点B作BE⊥x轴，垂足为E．

∵将x=0代入抛物线的解析式得y=$\frac{1}{2}$，
∴点A的坐标为（0，$\frac{1}{2}$）．
∵AB∥x轴，
∴BE=OA=$\frac{1}{2}$．
∵BE∥DC，C是OB的中点，
∴△ODC∽△OEB．
∴$\frac{DC}{BE}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{DC}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$．
解得：DC=$\frac{1}{4}$．
由二次函数的顶点坐标公式可知：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{{b}^{2}-4×1×\frac{1}{2}}{4×1}$=$\frac{1}{4}$．
解得：b=±1，
又∵x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b=-1．
（2）∵b=-1，
∴y₂=x²-x+$\frac{1}{2}$．
∴x=$-\frac{-1}{2×1}$=$\frac{1}{2}$．
∴点D的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）．
设y₃=x²+b₁x+c₁，将点A、点D的坐标代入函数的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}{b}_{1}+{c}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}=\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴y₃=x²-$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$．
将点C的坐标代入y₁=kx得：$\frac{1}{2}k=\frac{1}{4}$，解得；k=$\frac{1}{2}$．
∴y₁=$\frac{1}{2}$x．
|y₃-y₁|=|x²-$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}x$|=|x²-2x+$\frac{1}{2}$|．
函数|y₃-y₁|=|x²-2x+$\frac{1}{2}$|的图象图2所示；

令x²-2x+$\frac{1}{2}$=0，解得：x₁=1$+\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
x=-$\frac{b}{2a}$=$-\frac{-2}{1×2}$=1．
由函数图象可知：当x＜1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1＜x$＜1+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|y₃-y₁|的值随x的增大而减小．
（3）将x=2代入y=$\frac{1}{2}x$得；y=1．
将x=2，y=1代入y₄=（x-h）²得：（2-h）²=1．
解得h=3或h=1（不合题意）．
∴y₄=（x-3）²．
根据题意得：（x-3）²=$\frac{1}{2}x$．
解得：x₁=2，x₂=4.5．
∴m的最大值为4.5．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用、相似三角形的性质和判定、待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、解一元二次方程，利用二次函数的图象和性质画出函数的图象是解题的关键．