Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，点G是⊙O上一点，AG交CD于点K，延长KD至点E，使KE=GE，分别延长EG、AB相交于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AC∥EF，试探究KG、KD、GE之间的关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求FG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）连接OG，首先证明∠EGK=∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，进而证明EF是⊙O的切线；
（2）连接GD，由平行线的性质得到相等的角，进而根据相似三角形的判定得到△GKD∽△EKG，然后根据相似三角形的对应边成比例可得证；

（3）连接OG，OC，根据平行线的性质得到∠E=∠ACH，然后根据已知的sinE=设出AH=3t，则AC=5t，CH=4t，然后根据勾股定理求出CH、AH的长，设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，求出r的值，再由OG的长和tan∠OFG=tan∠CAH，利用三角函数在Rt△OGF中计算出FG的长．

证明：（1）如图1，连接OG．

∵KE=EG，

∴∠EKG=∠EGK，

∵∠AKH=∠EKG，

∴∠EGK=∠AKH，

∴OA=OG，

∴∠OGA=∠OAK，

∵AB⊥CD，

∴∠AHK=90°，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

∴∠OGA+∠EGK=90°，

∴∠OGE=90°，

∴EF是⊙O的切线；

（2）KG2=KDGE，理由是：

连接GD，如图2，

∵AC∥EF，

∴∠C=∠E，

∵∠C=∠AGD，

∴∠E=∠AGD，

∵∠GKD=∠GKD，

∴△GKD∽△EKG，

∴，

∴KG2=KDEK，

由（1）得：EK=GE，

∴KG2=KDGE；

（3）连接OG，OC，如图3所示，

∵AC∥EF，

∴∠E=∠ACH，

∵sinE=sin∠ACH=，

设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5t，

∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（2）2，解得t=±．

∴CH=4，AH=3，

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r﹣3）2+（4）2=r2，解得r=，

∵EF为切线，

∴△OGF为直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=，tan∠OFG=tan∠CAH===，

∴FG==．