Question

已知Rt△ABC和Rt△A′C′D中，AC=A′C′，A′D=1，∠B=∠D=90°，∠C+∠C′=60°，BC=2，则这两个三角形的面积和为

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：计算题,压轴题

分析：利用AC=A′C′把Rt△ABC和Rt△A′C′D中的AC与A′C′重合可得到如图所示的四边形ABCD，再延长CD与BA交于E，由∠BCE=60°得到∠E=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到EB=

3

BC=2

3

，可计算出S_△EBC=

1

2

×2×2

3

=2

3

；同样S_△ADE=

1

2

×1×

3

=

3

2

，然后利用S_{四边形ABCD}=S_△EBC-S_△ADE进行计算．

解答：解：由于AC=A′C′，所以把Rt△ABC和Rt△A′C′D中的AC与A′C′重合可得到如图所示的四边形ABCD，∠B=∠ADC=90°，
∵∠C+∠C′=60°，
∴∠BCD=60°，
CD与BA的延长线交于E点，如图，
在Rt△EBC中，BC=2，∠BCE=60°，
∴∠E=30°，
∴EB=

3

BC=2

3

，
∴S_△EBC=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
在Rt△EAD中，∠E=30°，AD=1，
∴AE=2，
∴S_△ADE=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_{四边形ABCD}=S_△EBC-S_△ADE=2

3

-

3

2

，
即原来两个三角形的面积和为

3 3

2

．
故答案为：

3 3

2

．

点评：本题考查了面积与等积变换：把几个不规则的几何图形拼成较为规则的几何图形，然后利用面积的和差解决问题．也考查了含30°的直角三角形三边的关系．