Question

【题目】如图，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（2 ，1），直线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数为y=（x＞0）；（2）tan∠DAC=；直线AC的解析式为y=x﹣1.

【解析】

试题（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2， 从而求得反比例函数解析式；

（2）作BH⊥AD于H，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2），确定AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2， 然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1.

试题解析：（1）由反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），得：k=2×1=2，

∴反比例函数为y=（x＞0）；

（2）作BH⊥AD于H，如图，

把B（1，a）代入反比例函数解析式y=（x＞0），得a=2，

∴B点坐标为（1，2），

∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，

∴△ABH为等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°=；

∵AD⊥y轴，

∴OD=1，AD=2，

∵tan∠DAC==，

∴CD=2，

∴OC=1，

∴C点坐标为（0，﹣1），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（2，1）、C（0，﹣1）代入

得 ，解得：，

∴直线AC的解析式为y=x﹣1；