Question

【题目】在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．

（1）当t=2时，∠NMP=度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）30
（2）解：若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，

在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4

∴DE= AD=2，AE=2 ，

∴AM=t，PC=2﹣t

要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC

∴t=2﹣t得t=1．

若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．

（3）解：若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，

∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，

如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，

∴∠CNP=∠MNB=30°，

∴BM= BN，即4﹣t= t，

解得，t= ．

如图4中，当∠PNC=90°时，

易知BG=2（4﹣t），MG= （4﹣t），

GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= （3t﹣8），

∵PM=2 ，

∴MG+GP=2 ，

∴ （4﹣t）+ （3t﹣8）=2 ，

解得t=10，不合题意，

综上所述，t= s时，△PNC是直角三角形．

【解析】解：（1）如图1中，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC=CD=AD，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∵t=2时，AM=BM=2，BN=CN=2，

∵PM⊥AB，

∴PA=PB，

∴P与C重合，

∵MN∥AC，

∴∠NMP=∠ACM= ∠ACB=30°．
（2）若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，

在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4

∴DE= AD=2，AE=2 ，

∴AM=t，PC=2﹣t

要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC

∴t=2﹣t得t=1．

若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．
（3）若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，

∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，

如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，

∴∠CNP=∠MNB=30°，

∴BM= BN，即4﹣t= t，

解得，t= ．

如图4中，当∠PNC=90°时，

易知BG=2（4﹣t），MG= （4﹣t），

GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= （3t﹣8），

∵PM=2 ，

∴MG+GP=2 ，

∴ （4﹣t）+ （3t﹣8）=2 ，

解得t=10，不合题意，

综上所述，t= s时，△PNC是直角三角形．

所以答案是：（1）30；（2）t=1；（3）t=.

【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分即可以解答此题．