Question

【题目】如图，在中，，，．点从出发沿方向以每秒的速度向终点运动．点从出发沿方向以每秒的速度向点运动、同时当点运动停止时，点随之停止运动．过点作交边于点，将绕的中点旋转180°得到．过点作交射线于点，以为边向右下方作正方形，设点的运动时间为（秒）．

（1）直接写出的长度（用含的代数式表示）．

（2）当点落在上时，求的值．

（3）当正方形与有重合部分时，求正方形与重合图形部分的周长与时间的函数解析式．

（4）当直线与的某一边垂直时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，=52t-30；当时，=12t；当时，=-6t+15；（4），，．

【解析】

（1）利用勾股定理可求出AB的长，可得cosA=，利用距离=速度×时间可求出AD=5t，利用∠A的余弦值即可得答案；

（2）如图，由旋转的性质可得四边形AGFD是平行四边形，∠FDG=∠AGD=90°，可得∠HGF=∠A，根据三角函数的定义可得tan∠B=，根据距离=速度×时间可求出BE=4t，利用∠B的正切值可用t表示出PE的长，由正方形的性质可得EH=PE，当点F落在上时可得四边形FDGH是矩形，可得FD=HG，即可证明HG=AG，根据BE+EH+HG+AG=AB=10列方程即可求出t值；

（3）先分别求出DG与HQ重合、点F落在PE上、DG与PE重合时的t值，再根据各时间段中l与t当关系式即可；

（4）分QF⊥BC、QF⊥AB、QF⊥AC三种情况，利用∠A的三角函数及线段的和差关系分别求出t值即可．

（1）∵AC=8，BC=6，

∴AB==10，

∴cos∠A=，sin∠A=，tan∠A=，

∵点D的速度为每秒5cm，

∴AD=5t，

∴AG=AD·cosA=5t×=4t．

（2）∵将绕的中点旋转180°得到，

∴四边形AGFD是平行四边形，∠FDG=∠AGD=90°，AG=FD，

∵点落在上，DG⊥AB，四边形EPQH是正方形，

∴∠FHG=∠DGH=∠FDG=90°，

∴四边形FDGH是矩形，

∴FD=HG，

∴HG=AG=4t，

∵AC=8，BC=6，∠BCA=90°，

∴tan∠B==，

∵点E的速度为每秒4cm，

∴BE=4t，

∴PE=BE·tan∠B=t，

∵四边形EPQH是正方形，

∴EH=PE=t，

∵BE+EH+HG+AG=AB=10，

∴4t+t+4t+4t=10，

解得：．

（3）∵AD=5t，AG=4t，

∴DG=3t，

如图，当DG与HQ重合时，

∵BE=4t，EH=PE=t，AG=4t，

∴4t+t+4t=10，

解得：t=，

如图，当点F落在PE上时，

∵BE=4t，EG=DF=4t，AG=4t，

∴4t+4t+4t=10，

解得：t=，

如图，当DG与PE重合时，

∵BE=4t，AG=4t，

∴4t+4t=10，

解得：t=，

①如图，当时，FD、FG分别交QH于M、N，

∵BE=4t，EH=PE=t，AG=4t，

∴HG=10-4t-4t-t=10-t，

∵四边形MDGH是矩形，

∴MB=GH=10-t，

∴FM=FD-MD=4t-(10-t)=t-10，

∵∠F=∠A，

∴MN=FM·tan∠A=FM=13t-，FN==FM=，

∴l=FM+MN+FN=52t-30．

②当时，重合部分的周长即是△FDG当周长，

∴l=3t+4t+5t=12t．

③如图，当时，FD、FG分别交PE于M、N，

∵BE=4t，AG=4t，

∴EG=MD=10-8t，

∵∠EGN=∠A，

∴NE=EG·tan∠A=-6t，NG==-10t，

∴MN=MN-NE=DG-NE=3t-（-6t）=9t-，

∴l=MN+NG+DG+MD=9t-+-10t+3t+10-8t=-6t+15，

综上所述：当时，l=52t-30；当时，l=12t；当时，l= -6t+15．

（4）①如图，当FQ⊥BC时，

∵四边形AGFD是平行四边形，

∴FG//AC，

∵∠BCA=90°，

∴GF⊥BC，

∴点Q在直线GF上，

∵AG=4t， QH=PE=EH=t，

∴HG=10-4t-4t-t=10-t，

∵∠FDN=∠A，

∴QH=HG·tan∠A，即t=（10-t），

解得：，

②由（2）可知，当点F落在QH上时，DF⊥AB，此时，

③如图，当FQ⊥AC时，直线FQ交AB于M，

∵FQ⊥AC，FG//AC，

∴FQ⊥FG，

∵∠A+∠QMH=90°，∠MQH+∠QMH=90°，

∴∠MQH=∠A，

∵QH=PE=t，FG=AD=5t，

∴MH=QH·tan∠A=4t，MG==t，

∵BE=4t，AG=4t，EH=t，

∴HG=10-t，

∵MG=MH+HG，即t=4t+10-t，

解得：，

综上所述：直线与的某一边垂直时，或或．