Question

6．如图，△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a，b，c，⊙O与△ABC的三边均相切，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 证出四边形ODCE为正方形，根据正方形的判定和性质发现直角三角形的内切圆的半径等于它的一条切线长，即可得出结果．

解答 解：设切点分别为D，E，F，连接OD，OE，如图所示：
则OD⊥AC，OE⊥BC．
∵∠C=90°
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD=CE=r，AD=AF=b-r，BF=BE=a-r，而AF+BF=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=$\frac{a+b-c}{2}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、正方形的判定与性质；熟练运用切线长定理，能够根据正方形的性质以及切线长定理推导出直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．