【题目】如图,BC是⊙O的直径,A是弦BD延长线上一点,切线DE平分AC于E。
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AD:DB=3:2,AC=15,求⊙O的直径。
【答案】(1)连接OD、CD,先根据切线的性质得到OD⊥DE,即∠1+∠2=90°,再根据圆周角定理可得∠BDC=90°,再结合E为AC的中点,根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC,即得∠2=∠3,根据元的基本性质可得∠1=∠4,即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°,从而证得结论;(2)
【解析】
试题分析:(1)连接OD、CD,先根据切线的性质得到OD⊥DE,即∠1+∠2=90°,再根据圆周角定理可得∠BDC=90°,再结合E为AC的中点,根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC,即得∠2=∠3,根据元的基本性质可得∠1=∠4,即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°,从而证得结论;
(2)分别证得△ACD∽△ABC与△ACD∽△BCD,根据相似三角形的性质可得,,由AD:DB=3:2可设AD=3k,DB=2k,则AB=5k,即可求得结果.
(1)连接OD、CD
∵DE是⊙O的切线,切点为D
∴OD⊥DE于D
∴∠ODE=90°,即∠1+∠2=90°;
∵BC为⊙O的直径
∴∠BDC=90°
∴∠ADC=90°
∵E为AC的中点
∴DE=CE=AE=AC
∴∠2=∠3
∵⊙O中,OC=OD
∴∠1=∠4
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°
∴OC⊥AC于C
∴AC是⊙O的切线;
(2)∵∠ACD=∠BDC=90°,∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
同理:△ACD∽△BCD
∴①
②
∵AD:DB=3:2
∴设AD=3k,DB=2k,则AB=5k
∴①
②
∴.
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【题目】如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD的中点,连接AE,折叠该纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上,若DE=5,则GE的长为__________.
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【题目】美丽的赤城湖水库是蓬溪县“天蓝水绿山青”的真实写照.如图,赤城湖水库的大坝横截面是一个梯形,坝顶宽CD=4m,坝高3m,斜坡AD的坡度为1:2.5,斜坡BC的坡度为1:1.5,若大坝长200m,求大坝所用的土方是多少?
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【题目】某厂从2011年起开始投入技改资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表所示:
年度 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
投入技改资金/万元 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
产品成本/(万元/件) | 7.2 | 6 | 4.5 | 4 |
(1)请认真分析表中的数据,从你学过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,并求出它的表达式;
(2)按照这种变化规律,2015年已投入技改资金5万元.
①预计产品成本每件比2014年降低多少万元?
②如果打算在2015年把每件产品的成本降低到3.2万元,那么还需投入技改资金多少万元?(精确到0.01万元)
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【题目】将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起,友情提示:,,.
(1)①若,则的度数为__________;
②若,则的度数为__________.
(2)由(1)猜想与的数量关系,并说明理由;
(3)当且点在直线的上方时,当这两块角尺有一组边互相平行时,请直接写出角度所有可能的值.
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【题目】中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中名学生的成绩(成绩取整数,总分分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
请根据所给信息,解答下列问题:
(1) , ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若成绩在以上(包括分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的名学生中成绩“优”等约有多少人?
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【题目】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
(1)求证:BN=DN;
(2)求△ABC的周长.
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【题目】某公司有A、B两种型号的客车,它们的载客量、每天的租金如表所示:
A型号客车 | B型号客车 | |
载客量(人/辆) | 45 | 30 |
租金(元/辆) | 600 | 450 |
已知某中学计划租用A、B两种型号的客车共10辆,同时送七年级师生到沙家参加社会实践活动,已知该中学租车的总费用不超过5600元.
(1)求最多能租用多少辆A型号客车?
(2)若七年级的师生共有380人,请写出所有可能的租车方案.
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【题目】如图,一个长方形运动场被分隔成A,B,A,B,C共5个区,A区是边长为a m的正方形,C区是边长为c m的正方形.
(1)列式表示每个B区长方形场地的周长,并将式子化简;
(2)列式表示整个长方形运动场的周长,并将式子化简;
(3)如果a=40,c=10,求整个长方形运动场的面积.
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