Question

【题目】如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．

（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．

（2）若⊙O的半径为5，求CACE的最大值．

（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，

①求y关于x的函数解析式；

②若＝，求y的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）100；（3）①y＝;②y＝或．

【解析】

（1）根据AB∥DE，可得∠ABC＝∠E，又由同圆中同弧所对圆周角相等可得∠ADC＝∠E；

（2）先找出△ADC∽△DEC，即可得到CD2＝CACE，再根据圆的半径为5可知最大为CD=5，即CACE=100；

（3）①由（2）的相似可得y＝tan∠AEC＝，再过点D作DF⊥CE，设EF＝a，∴CF＝DF＝ax，CD＝ax，代入y即可得到y＝．

②根据=，得到＝9：4，即x：y＝9：4，代入y的表达式即可求出结果．

（1）证明：∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠E，

∵∠ADC＝∠ABC，

∴∠ADC＝∠E；

（2）解：∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠DCE，

又∠ADC＝∠E，

∴△ADC∽△DEC，

∴，

即CD2＝CACE，

又∵⊙O的半径为5，

∴CACE＝CD2≤102＝100．

即CACE的最大值为100．

（3）解：①连接AD，

∵△ADC∽△DEC，，

∴y＝tan∠AEC＝，

过点D作DF⊥CE，不妨设EF＝a，

∵∠CED＝∠CBA，∠DCE＝45°，

∴CF＝DF＝ax，

∴CD＝ax，

∴y＝＝．．

②∵=，

∴=，

∴＝9：4，

即x：y＝9：4，

将y＝x代入y＝得，

=，

解得，x1＝2，x2＝，

当x＝2时，y＝，

当x＝时，y＝，，

∴y＝或．