Question

【题目】如图，已知二次函数y=x2－mx－m－1的图像交x轴于A、B两点（A、B分别位于坐标原点O的左、右两侧），交y轴于点C，且△ABC的面积为6．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P为平面内一点，且PB=3PA，试求当△PAB的面积取得最大值时点P的坐标，并求此时直线PO将△ABC分成的两部分的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）5∶3或1∶15．

【解析】

（1）分别求出A，B，C的坐标，结合△ABC的面积为6，列出关于m的方程，求出m的值，即可得到二次函数解析式；

（2）设P(a，b)，根据PB=3PA以及两点间的距离公式，得到b2关于a的二次函数，利用二次函数的性质，求出使△PAB面积最大时，点P的坐标，然后分两种情况：①当P1(－，)时，②当P2(－，－)时，分别求出此时直线PO将△ABC分成的两部分的面积之比，即可．

（1）令y=0，得：0=x2－mx－m－1，解得：x1=－1，x2=m＋1，

∴A(－1，0)，B(m＋1，0)．

当x=0时，y=－m－1，

∴C(0，－m－1)．

∵B(m＋1，0)在y轴的右侧，

∴m＋1＞0，

由“△ABC的面积为6”得：S=（m＋1）（m＋2）=6，

解得：m1=－5（舍去），m2=2，

∴y=x2－2x－3．

（2）设P(a，b)，

∵A(－1，0)，B(3，0)，PB=3PA，

∴PB2=9PA2，即（3－a）2＋b2=9[（－1－a）2＋b2]，

化简得：b2=－a2－3a．

要使△PAB面积最大，底AB=4为定值，因此只要使AB边上的高最大，即b2取得最大值．

∵b2=－（a＋）2＋，

∴当a=－时，b2取得最大值为，即取得最大值为，

∴P1(－，)，P2(－，－)．

①当P1(－，)时，直线P1O的解析式为：y=－x，

∵B(3，0)，C(0，-3)，

∴直线BC的解析式为：y=x－3．

联立y=－x与y=x－3，得-x=x-3，解得：x=，

∴P1O与BC的交点Q1(，－)，

∴△OBQ1的面积=×3×=，四边形ACQ1O的面积=6-=，

∴此时直线PO将△ABC分成的两部分的面积之比为∶，即5∶3．

②当P2(－，－)时，与①同理可得直线PO将△ABC分成的两部分的面积之比为1∶15．