Question

【题目】若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线的顶点在直线l上，则称抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线1叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”

（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；

（2）如果抛物线y=2x2﹣4x+1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，如图，设抛物线与x轴的一个交点为A，与y轴交于点B，其顶点为C．

①求△ABC的面积；

②在y轴上是否存在一点P，使S△PBC=S△ABC，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2+4x﹣4；（2）①；②P点坐标为（0，）或（0，）．

【解析】

（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得顶点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）①根据配方法，可得顶点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B，A点坐标，根据三角形的面积的和差，可得答案；

②根据面积间的关系，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

（1）∵“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，∴“带线”L的顶点的（﹣1，﹣6），设L的解析式为y=a（x+1）2﹣6．

∵“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标是（0，﹣4）．

∵带线”L也经过（0，﹣4），将（0，﹣4）代入L的表达式，得：a=2，“带线”L的表达式为y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；

（2）①y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1其顶点坐标是（1，﹣1），直线y=nx+1经过（1，﹣1），解得：n=﹣2，直线BC的解析式为y=﹣2x+1，当y=0时，﹣2x+1=0，解得：x=，即D（，0），AD=1﹣=

当x=0时，y=1，即B（0，1），当y=0时，2x2﹣4x+1=0，解得：x=1，即A点坐标为（1+，0），∴S△ABC=AD（yB﹣yC）=××（1+1）=；

②如图，设P（0，n），BP=|1﹣n|，由S△PBC=S△ABC，得：

|1﹣n|×1=×，化简得：1﹣n=，或n﹣1=

解得：n=或n=，P点坐标为（0，）或（0，）．