Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D 出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；

（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？

（3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）CD=；（2）t为3秒或秒；（3）当，时使得PQ分△ACD的面积为1：11．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB＝10，进利用面积法求出CD；

（2）先表示出CP，再判断出∠ACD＝∠B，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论；

（3）先判断出△CEQ∽△CDA，得出，进而表示出QE＝t，再分当S△CPQ＝S△ACD时，和当S△CPD＝S△ACD时，利用面积建立方程求解即可得出结论．

（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝

∵S△ABC＝ACBC＝ABCD，

∴CD＝，

（2）由（1）知，CD＝，

由运动知，CQ＝t，DP＝t，

∴CP＝CDDP＝t，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B＋∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵△CPQ与△ABC相似，

①当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△BCA，

∴，

∴

∴t＝3

②当∠CQP＝90°时，△CPQ∽△BAC，

∴，

∴

∴t＝，

即：t为3秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．

（3）假设存在，如图，

Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝，

过点Q作CE⊥CD于E，

∴QE∥AD，

∴△CEQ∽△CDA，

∴，

∴

∴QE＝

∵S△CPQ＝CPQE＝（）

∴S△ACD＝ADCD＝××，

∵PQ分△ACD的面积为1：11，

∴①当S△CPQ＝S△ACD时，

∴（t）＝×××，

∴5t224t＋16＝0，

∴＝或4．

②当S△CPD＝S△ACD时，

∴（t）＝×××，

∴5t224t＋176＝0，而△2424×5×176＝5763520＜0，

此方程无解，即：此种情况不存在，

综上所述，当t＝或4时，PQ分△ACD的面积为1：11．