Question

19．如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AE⊥l交直线l于点E、交⊙O于点F，BD⊥l交直线l于点D．
（1）求证：△AEC∽△CDB；
（2）求证：AE+EF=AB；
（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1cm/s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，从而得到∠BCD+∠ACE=180°-∠ACB=90°，最后得到∠BCD=∠EAC，从而利用两角对应相等的三角形是相似三角形证得△AEC∽△CDB；
（2）连结BF、OC，首先证得四边形BDEF是矩形，从而得到OC=$\frac{1}{2}$（AE+EF），然后根据OC=$\frac{1}{2}$AB得到AE+EF=AB；
（3）首先表示出AP=2t，BQ=t和BP=10-2t，然后分当BP=BQ、PB=PQ、BQ=PQ三种情况分类讨论即可求得t的值．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE=180°-∠ACB=90°，
∵AE⊥DE，BD⊥DE，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BCD=∠EAC，
∴△AEC∽△CDB；

（2）证明：如图1，连结BF、OC，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
又∵AE⊥DE，BD⊥DE，
∴OC∥BD∥AE，
又∵O是AB的中点，
∴OC是梯形ABDE的中位线，
∴OC=$\frac{1}{2}$（BD+AE），
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BFE=90°，
又∵∠AED=∠BDE=90°，
∴四边形BDEF是矩形，
∴BD=FE，
∴AE+EF=AE+BD，
∴OC=$\frac{1}{2}$（AE+EF），
∵OC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE+EF=AB；

（3）解：由题意可知：AP=2t，BQ=t，0＜t≤5，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴BP=10-2t，
①当BP=BQ时，如图2，
10-2t=t，
t=$\frac{10}{3}$；
②当PB=PQ时，过点P作PG⊥BC于点G，如图3，
∵PB=PQ，PG⊥BC，
∴BG=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$t，∠PGB=90，
∴∠ACB=∠PGB=90°，
又∵∠PBG=∠ABC，
∴△BPG∽△BAC，
∴BP：BA=BG：BC，
∴10-2t：10=$\frac{1}{2}$t：6，
∴t=$\frac{60}{17}$；
③当BQ=PQ时，过点Q作QH⊥AB于点H，如图4，
同理可求得：BH=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$（10-2t）=5-t，
△QHB∽△ACB，
∴BH：BC=BQ：AB，
∴$\frac{5-t}{6}$=$\frac{t}{10}$，
∴t=$\frac{25}{8}$，
综上所述，当t=$\frac{10}{3}$或t=$\frac{60}{17}$或t=$\frac{25}{8}$时，△BPQ为等腰三角形．

点评 本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及等腰三角形的性质，题目中还渗透了分类讨论的数学思想，是中考的热点考题之一，应加强有关的此类题目的训练．