Question

18．D为等腰Rt△ABC斜边BC上一点（不与B、C重合），DE⊥BC于点D，交直线BA于点E，作∠EDF=45°，DF交AC于F，连接EF，BD=nDC，当n=$\frac{1}{2}$或1时，△DEF为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 分两种情况：①当∠DEF=90°时，由题意得出EF∥BC，作FG⊥BC于G，证出△CFG、△BDE是等腰直角三角形，四边形EFGD是正方形，得出BD=DE=EF=DG=FG=CG，即可得出结果；
②当∠EFD=90°时，求出∠DEF=45°，得出E与A重合，D是BC的中点，BD=CD，即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①当∠DEF=90°时，如图1所示：
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=90°=∠DEF，
∴EF∥BC，
作FG⊥BC于G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△CFG、△BDE是等腰直角三角形，四边形EFGD是正方形，
∴BD=DE=EF=DG=FG=CG，
∴BD=$\frac{1}{2}$CD，
∴n=$\frac{1}{2}$；
②当∠EFD=90°时，如图2所示：
∵∠EDF=45°，
∴∠DEF=45°，此时E与A重合，D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴n=1．
故答案为：$\frac{1}{2}$或1．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、正方形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分两种情况讨论是解决问题的关键．