Question

8．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，BD与过点C的直线互相垂直，垂足为点D，BD与半圆O交于点E，且BC平分∠DBA．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由OB=OC，BC平分∠DBA，易证得OC∥BD，又由BD⊥CD，即可证得结论；
（2）首先根据切割线定理求得BD，然后根据勾股定理求得BC，连接AC，通过证得△ABC∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∵BC平分∠DBA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C是半圆O上的一点，
∴CD与半圆O相切；

（2）连接AC，
∵CD是切线，
∴CD²=DE•BD，
∵DC=8，BE=4，
设BD=x，则8²=x（x-4），
解得x=2+2$\sqrt{17}$，
∴BD=2$+2\sqrt{17}$，
∵∠BDC=90°，
∴BC²=CD²+BD²=64+（2+2$\sqrt{17}$）²，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠BDC，
∵∠BDC=∠ABC，
∴△CDB∽△ACB，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$，
∴AB=$\frac{B{C}^{2}}{BD}$=4$\sqrt{17}$．

点评 此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．