Question

如图，将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA，连接BE，其中AB=AC，已知△ABE的面积为3．
（1）找出图中所有的平行四边形，并说明理由；
（2）求四边形CEFB的面积；
（3）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（4）若∠BEC=15°，求AC的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,平移的性质

专题：

分析：（1）由平移的性质可证明四边形AFBC和AEFB为平行四边形；
（2）根据平移的性质得到AE=BF=AC，BF∥CE，△EFA≌△ABC，结合平行四边形的性质，则S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC=3 cm²，然后利用四边形CEFB的面积=3S_△ABC进行计算；
（3）由于AB=AC，而AE=AC，则AB=AE，利用（1）中证得的四边形AEFB是平行四边形，根据菱形的判定方法有四边形AEFB是菱形，然后根据菱形的性质得到AF与BE互相垂直平分；
（4）设AC=x，则AB=x，由条件可求得∠BAC=30°，过B作BD⊥AC于点D，则可得BD=

1

2

AC，再结合△ABC的面积为3，可求得AC的长．

解答：解：
（1）四边形AFBC和四边形AEFB为平行四边形．
由平移的性质得，
AF∥BC，且AF=BC，AB∥EF，且AB=EF，△EFA≌△ABC，
∴四边形AFBC和四边形AEFB为平行四边形；
（2）由（1）可知四边形AEFB是平行四边形，
∴S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC=3 cm²，
∴四边形BCEF的面积=3S_△ABC=9 cm²；
（3）AF与BE互相垂直平分．理由如下：
∵AB=AC，
而AE=AC，
∴AB=AE，
∵四边形AEFB是平行四边形，
∴四边形AEFB是菱形，
∴AF与BE互相垂直平分；
（4）如图，作BD⊥AC于D，

∵∠BEC=15°，AE=AB，
∴∠EBA=∠EBC=15°，
∴∠BAC=2∠BEC=30°，
∴S_△ABE=

1

2

AC•BD=

1

2

AC•

1

2

AB=

1

4

AC²，
又S_△ABE=3，
∴

1

4

AC²=3，
∴AC=2

3

．

点评：本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．