Question

如图所示，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，以AD为边作等边△ADG，在经过点O作∠EOF=60°，与边DG相交于点E，与边AG相交于点F，连接EF．
（1）求证：DE+AF=EF；
（2）若AB=1cm，求△EFG的周长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明△AOH≌△DOE，得到OH=OE，∠AOH=∠DOE；证明△HOF≌△EOF（SAS），得到HF=EF，故DE+AF=EF，即可解决问题．
（2）求出AD的长度；运用（1）中的结论得到△EFG的周长=AG+DG=2

3

，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，延长FA到H，使AH=DE，连接OH；
∵△ADG为等边三角形，且∠AOD=120°，
∴∠G=60°，∠AOD+∠G=180°，
∴A、O、D、G四点共圆，
∴∠HAO=∠EDO；而四边形ABCD为矩形，
∴OA=OD；
在△AOH与△DOE中，

AO=DO ∠OAH=∠ODE AH=DE

，
∴△AOH≌△DOE（SAS），
∴OH=OE，∠AOH=∠DOE，
∴∠HOF=∠AOF+∠DOE=120°-∠EOF=60°，
∴∠HOF=∠EOF；
在△HOF与△EOF中，

OH=OD ∠HOF=∠DOF OF=OF

，
∴△HOF≌△EOF（SAS），
∴HF=EF，即DE+AF=EF．
（2）∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OAD=∠ODA=

180°-120°

2

=30°，
∵∠BAD=90°，AB=1，
∴AD=

3

，AG=DG=AD=

3

；
∵DE+AF=EF，
∴△EFG的周长=AG+DG=2

3

．

点评：该题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用矩形的性质、全等三角形的判定及其性质来分析‘、判断、解答．