Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，BF平分∠ABC交AD于点F，以AB上的点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于点E，恰好经过点F．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）当BC=4，cos∠C=

1

3

时，求线段AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明OF∥BD，根据BD⊥AD，得到OF⊥AD，即可解决问题．
（2）如图，根据题意求出AB、BD的长度；运用△AOF∽△ABD，列出比例式

OF

BD

=

AO

AB

，即

λ

2

=

6-λ

6

，求出λ即可解决问题．

解答：（1）证明：如图，连接OF；
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠OBF，而BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠OBF，
∴∠OFB=∠DBF，
∴OF∥BD，而BD⊥AD，
∴OF⊥AD，即AD与⊙O相切．
（2）解：∵AB=AC，AD是BC边上的高线，
∴BD=CD=

1

2

BC=2；∠ABD=∠C；
∴cos∠ABD=cos∠C=

1

3

，
∴AB=3BD=6；设⊙O的半径为λ，
则AO=6-λ；
∵OF∥BD，
∴△AOF∽△ABD，
∴

OF

BD

=

AO

AB

，即

λ

2

=

6-λ

6

，
解得：λ=1.5，
∴AE=6-2λ=3．

点评：该题主要考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定及其性质等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用切线的判定、相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．