Question

7．阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重叠部分；…将余下部分沿∠B_nA_nC的平分线A_nB_n+1折叠，点B_n与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB₁折叠，则等腰三角形的两个点B与点C重合（因为等腰三角形的两个底角是相等的）；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，此时点B₁与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系，写出探究过程．
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系是∠B=n∠C．．

Answer 1

分析 （1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C，即可得出答案；
（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C，利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C．

解答 解：（1）∠BAC是△ABC的好角，
理由如下：如图1，

∵沿∠BAC的平分线AB₁折叠，
∴∠B=∠AA₁B₁；
又∵将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，此时点B₁与点C重合，
∴∠A₁B₁C=∠C；
∵∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C（外角定理），
∴∠B=2∠C，
即∠BAC是△ABC的好角，
故答案为：是；

（2）∠B=3∠C，
理由是：如图2，

在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B₂A₂C的平分线A₂B₃折叠，点B₂与点C重合，
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA₁B₁，∠C=∠A₂B₂C，∠A₁ B₁C=∠A₁A₂B₂，
∴根据三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁-∠A₁ B₁C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
所以若经过n次折叠发现△ABC是“可折叠三角形”，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．
故答案为：∠B=n∠C．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质，难度较大．