Question

E点是平行四边形ABCD内一点，已知DE⊥AD，∠CBE=∠CDE，∠BCE=45°，延长CE交AD．BA的延长线于F，G．求证：BCDF是等腰梯形．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定

专题：证明题,几何综合题

分析：过点E作EH⊥CF交BC与H，判断出△CEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CE=EH，再求出∠CED=∠HED=135°，然后利用“边角边”证明△CDE和△HDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DH，全等三角形对应角相等可得∠CDE=∠HDE，然后求出∠CBE=∠HDE，再利用“角角边”证明△BEH和△DHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=DE，再求出BH=DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形的平行四边形得到四边形BHDF是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得BF=DH，从而得到BF=CD，再根据等腰梯形的定义证明即可．

解答：证明：如图，过点E作EH⊥CF交BC与H，
∵∠BCE=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴CE=EH，
∵平行四边形ABCD对边AD∥BC，
∴∠DFE=∠BCE=45°，
∵DE⊥AD，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=DF，∠DEF=45°，
∴∠CED=∠HED=135°，
在△CDE和△HDE中，

CE=EH ∠CED=∠HED=135° DE=DE

，
∴△CDE≌△HDE（SAS），
∴CD=DH，∠CDE=∠HDE，
∵∠CBE=∠CDE，
∴∠CBE=∠HDE，
在△BEH和△DHE中，

∠CBE=∠HDE ∠BHE=∠DEH=135° EH=HE

，
∴△BEH≌△DHE（AAS），
∴BH=DE，
又∵DE=DF，
∴BH=DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BHDF是平行四边形，
∴BF=DH，
∴BF=CD，
∵AD∥BC，
∴BCDF是等腰梯形．

点评：本题考查了等腰梯形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，综合题，难度较大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．