Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{7}{6}$x+2，与x轴负半轴交于A点，与y轴交于B点，点H在第四象限的抛物线上．BH交x轴于E点．点P（x，y）为线段AB上一动点，PE⊥BM垂足为E点．若PE=n，y+n=2，求BM的解析式．

Answer 1

分析 由抛物线的解析式求出B和A的坐标，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x+2；设点P的坐标为（x，2x+2），得出2x+2+n=2，因此n=-2x，得出PE=-2x，过P作PF⊥y轴于F，证出BF=PE，由HL证明Rt△PFB≌Rt△BEP，得出∠BPF=∠PBE，再由平行线的性质得出∠BAM=∠PBE，证出△ABM是等腰三角形，MA=MB，设M（t，0），由两点间的距离公式得出方程，解方程求出M的坐标，然后由待定系数法求出直线BM的解析式即可．

解答 解：抛物线y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{7}{6}$x+2，
∵当x=0时，y=2，
∴B（0，2）；
当y=0时，-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{7}{6}$x+2=0，
解得：x=-1，或x=$\frac{5}{12}$，
∵A在x轴负半轴，
∴A（-1，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A和B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x+2；
设点P的坐标为（x，2x+2），
∵y+n=2，
∴2x+2+n=2，
∴n=-2x，
∴PE=-2x，
过P作PF⊥y轴于F，如图所示：
则∠PFB=90°=∠BEP，BF=BO-FO=2-y=2-（2x+2）=-2x，
∴BF=PE，
在Rt△PFB和Rt△BEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{BF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFB≌Rt△BEP（HL），
∴∠BPF=∠PBE，
又∵PF∥x轴，
∴∠BAM=∠BPF，
∴∠BAM=∠PBE，
∴△ABM是等腰三角形，
∴MA=MB，
设M（t，0），
由两点间的距离公式得：（t+1）²=t²+（0-2）²，
解得：t=$\frac{3}{2}$，即M（$\frac{3}{2}$，0），
设直线BM的解析式为y=ax+c，
把点B、M的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{3}{2}a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故直线BM的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2．

点评 本题考查了抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、两点间的距离公式等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用两点间的距离公式才能得出M的坐标．