Question

5．如图，已知A，B两点的坐标分别为（-2，0），（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，-1），半径为1，射线AD切⊙C于D，则四边形ABCD面积的是（　　）

• A． $\sqrt{5}$+1
• B． 6
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．再求得△CDE面积，进而可求出四边形ABCD面积．

解答 解：由题意可知：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，
∴DE²=EF•OE，
∵CF=1，
∴DE=$\sqrt{x（x+2）}$，
∴△CDE∽△AOE，
∴$\frac{CD}{AO}=\frac{CE}{AE}$，
即$\frac{1}{2}=\frac{x+1}{2+\sqrt{x（x+2）}}$，
解得x=$\frac{2}{3}$，
S_△ABE=$\frac{BE•AO}{2}$=$\frac{11}{3}$，
∵S_△CDE=$\frac{1}{2}$DE•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×1=$\frac{2}{3}$，
∴四边形ABCD面积的=$\frac{11}{3}$-$\frac{2}{3}$=3，
故选：D．

点评 本题是一个动点问题，考查了圆的综合题，解题时，涉及到了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是求出△ABE面积和△CDE面积，题目的难度较大．