Question

【题目】如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于，是的切线，为切点，连接，．

（1）求证：直线为的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10．

【解析】

（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线；
（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证．

（1）连接OB，

∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB．
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直线PA为⊙O的切线．

（2）由（1）可知，，

，

，

=90，

，

，

，即，

是直径，

是半径

，

，

，

整理得；

（3）是中点，是中点，

是的中位线，

，

，

，

是直角三角形，

在中，，

，

，

，

，则，

、是半径，

，

在中，，，

由勾股定理得：

，即，

解得：或（舍去），

，

．