Question

【题目】定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为．

（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；

（2）已知二次函数．

①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当﹣3≤x≤3时，求函数的相关函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1}），连结MN．直接写出线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①m=2﹣或m=2+或m=2﹣；②最大值为，最小值为﹣；（3）﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．

【解析】

试题（1）函数y=ax﹣3的相关函数为，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；

（2）二次函数的相关函数为，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；

（3）首先确定出二次函数的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．

试题解析：解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．

（2）二次函数的相关函数为 ；

①当m＜0时，将B（m，）代入得，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．

当m≥0时，将B（m，）代入得：，解得：m=2+或m=2﹣．

综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．

②当﹣3≤x＜0时，，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．

当0≤x≤3时，函数，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．

综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数的相关函数的最大值为，最小值为﹣；

（3）如图1所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点．

所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．

如图2所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点

∵抛物线与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1，∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．

如图3所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线经过点（0，1），∴n=1．

如图4所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线经过点M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=，∴1＜n≤时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．

综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．