Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点E的坐标为（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）．

【解析】

（1）先求得点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；

（2）设点E的坐标为（x，x+1），则点F的坐标为F（x，x2﹣2x﹣3），则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标；

（3）存在，分两种情况考虑：（i）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），由E的纵坐标与P纵坐标相等列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出P1，P2的坐标；（ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），根据F的纵坐标与P的纵坐标相等列出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，求出P3的坐标，综上得到所有满足题意P得坐标．

（1）∵A（﹣1，0）、C（4，0），

∴OA＝1，OC＝4，

∴AC＝5，

∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，

∴B（4，5），

将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直线AB的解析式为：y＝x+1，

∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），

∴当t＝时，EF的最大值为，

∴点E的坐标为（）．

（3）存在，分两种情况考虑：

（ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），

∴，

∴m1=，m2=

∴P1（，），P2（，）

（ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）

则有：n2﹣2n﹣3＝﹣

∴n1=, n2=（舍去）

∴P3（，），

综上所述，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形所有点P的坐标为：P1（，），P2（，），P3（，）．