Question

已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的方程（b+c）x²+2ax+（c-b）=0有两个相等的实数根，且a、b是方程x²-12x+6=0的两个根，求△ABC中最长边上的高．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：先根据方程有两个相等的实数根判断出△ABC是以c为斜边的直角三角形，则所求最长边上的高即为斜边上的高．再根据根与系数的关系及完全平方公式求出c的值，然后根据直角三角形的面积公式即可解答．

解答：解：∵关于x的方程（b+c）x²+2ax+（c-b）=0有两个相等的实数根，
∴△=4a²-4（b+c）（c-b）=0，即4（a²+b²-c²）=0，即a²+b²=c²，
∴此三角形是以c为斜边的直角三角形．
∵a、b是方程x²-12x+6=0的两个根，
∴a+b=12，ab=6，
∴c²=a²+b²=（a+b）²-2ab=144-12=132，
∴c=2

33

．
设△ABC中斜边上的高为h．
∵S_△ABC=

1

2

ch=

1

2

ab，
∴h=

ab

c

=

6

2 33

=

33

11

．

点评：本题考查的是勾股定理的逆定理、根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式及三角形的面积公式，熟知以上知识是解答此题的关键．