Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）证明：无论k取何值时，这个方程总有实数根，并且有有理根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边b，c是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）根据方程表示出根的判别式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质确定出根的判别式大于等于0，且为完全平方式，即可得证；
（2）分a为腰与a为底两种情况，求出方程的解确定出b与c，即可求出周长．

解答：解：（1）方程x²-（k+2）x+2k=0，
∵△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴无论k取何值时，这个方程总有实数根，并且有有理根；
（2）若a=1是腰，则x=1为已知方程的解，
将x=1代入方程得：k=1，即方程为x²-3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
此时三角形三边为1，1，2，不合题意，舍去；
若a=1是底时，b=c为腰，即k=2，方程为x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
此时b=c=2，即三角形三边长为1，2，2，周长为1+2+2=5．

点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．