Question

5．如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C，已知B点坐标为（8，0），A点坐标为（4，0），tan∠ABC=$\frac{1}{2}$
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线EF（EF∥x轴，且分别交y轴、线段CB于E、F两点）从点C开始运动，以每秒1个单位的速度向下运动，与x轴重合时停止，同时动点P从B点出发沿线段BO以每秒2个单位的速度向终点O运动，连接FP，设运动时间为t秒，是否存在t值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图2连接AC交EF于点G，当t为何值时，A、P、F、G所围成的图形是平行四边形、等腰梯形，请直接写出对应的t值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OBC中，利用tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$可求出点C的坐标，再把A，B，C，三点的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，即可求得解析式；
（2）存在，首先可以分别求出BA、AC、BC的长度，同时也可以用t分别表示BP、BF的长度，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（3）根据（2）GF∥AP，同时BP=2t，BF=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，那么AP也可以用t表示，然后分别利用平行四边形、等腰梯形的性质即可得出关于t的方程解决问题．

解答 解：（1）∵B点坐标为（8，0），
∴OB=8．
∵tan∠ABC=$\frac{1}{2}$=$\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{OC}{8}=\frac{1}{2}$，
∴OC=4，
∴C（0，4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=64a+8b+c}\\{0=16+4b+c}\\{4=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+4；
（2）存在，根据（1）由勾股定理，得BA=4，AC=4$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{5}$，∠CAO=45°．
依题意得：BP=2t，
∵CE=t，tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴EF=2t，
∴CF=$\sqrt{5}$t，
∴BF=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t．
如图3，由△BPF∽△BAC，得
$\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}=\frac{2t}{4}$，
解得t₁=$\frac{4}{3}$，
如图4，由△BPF∽△BCA，得
$\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{4}=\frac{2t}{4\sqrt{5}}$，
解得：t₂=$\frac{20}{7}$．
所以：t₁=$\frac{4}{3}$；t₂=$\frac{20}{7}$；
（3）根据（2）得BP=2t，MF∥AP，
又直线AC经过A（4，0），C（0，4），那么其解析式为：y=-x+4，
而动直线EF（EF∥x轴），从C点开始，以每秒1个长度单位的速度向x轴方向平移，与x轴重合时结束，并且分别交y轴、线段CB于E、F两点，AC与EF交于点M，M的纵坐标为4-t，
∴M的横坐标为t，
而EF：OB=CE：OC，
∴EF=2t
∴GF=2t-t=t，AP=OB-OA-BP=8-4-2t，CG=$\sqrt{2}$t，AG=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t
如图5，当G、P、A、F所围成的图形是平行四边形，那么GF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=$\frac{4}{3}$；
如图6，当G、P、A、F所围成的图形是等腰梯形，
∴AG=PF，∠GAP=∠FPA=45°．
作FM⊥OB与M，
∴∠FMP=90°，
∴∠PFM=45°，
∴∠PFM=∠FPM，
∴MF=MP．
设FM=MP=x，
∴BM=2t-x．
∴$\frac{x}{4}=\frac{2t-x}{8}$，
∴x=$\frac{2}{3}$t．
∴PF=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$t．
∴$\frac{2}{3}\sqrt{2}$t=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t
∴t=$\frac{12}{5}$，
答：当t=$\frac{4}{3}$时，G、P、A、F所围成的图形是平行四边形，当t=$\frac{12}{5}$时，G、P、A、F所围成的图形是等腰梯形．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式、相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、等腰梯形、等腰直角三角形的性质和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．